Kapitel 6 i Krugman, Obstfeld og Melitz handler om den såkaldte standardmodel for international handel. Modellen er en generalisering af de tre tidligere modeller, vi har set på: Ricardo, Specifikke faktorer og Heckscher–Ohlin. Derfor er det oplagt at bruge dette kapitel til at undersøge hvordan de tre klassiske handelsteorier kan ses som varianter af den samme grundlæggende idé.

Diskussionen her bygger videre på R-øvelsen i kapitel 4, hvor vi arbejdede med produktionsfunktioner og PPF-kurver. Til at lave figurerne på denne side, anvender jeg en lignende fremgangsmåde.

Da vi allerede har undersøgt Specifikke faktorer-modellen, gentager jeg ikke den del her. I stedet fokuserer jeg på Heckscher–Ohlin og Ricardo-modellerne, og hvordan de kan sammenlignes inden for rammerne af standardmodellen.

De parametre jeg anvender i de følgende eksempler angives nedenfor.

# Grundlæggende parametre for analyse
v1 <- data.frame(
  L = 100,              # Total udrustning af arbejdskraft
  K = 60,               # Total udrustning af kapital
  # Unit factor requirements (a_kx, a_ky er ikke relevante for Ricardo-modellen)
  a_lx = 3,             # Arbejdskraft per enhed X
  a_kx = 1,             # Kapital per enhed X
  a_ly = 2,             # Arbejdskraft per enhed Y
  a_ky = 5,             # Kapital per enhed Y
  # Præferencer
  theta_pref = 0.45     # Indkomstandel brugt på X
)

Hvor er R-koden?

I forelæsningen den 5. marts, fik I mulighed for at diskutere med hinanden, hvordan man kunne anvende Ricardo-, Specifikke faktor- og Heckscher–Ohlin-modellerne til at analysere produktion og handel.

I forlængelse af det, har jeg lavet en mere formel analyse ved hjælp af R, hvor jeg (med udgangspunkt i nogle simple antagelser) har løst optimeringsproblemerne for både producenter og forbrugere under de forskellige modeller. Formålet er, at opsummere diskussionen og fremhæve de vigtigste resultater på den teoretiske plan, uden at gå i detaljer med kodningen.

Du må selvfølgelig gerne lave dine egne koder til at generere figurerne. Den tidligere R-øvelse i forhold til kapitel 4 kan være relevant at kigge på, da den indeholder mange af de samme elementer.

Heckscher–Ohlin-modellen

I Heckscher–Ohlin-modellen har vi to mobile faktorer: arbejdskraft (\(L\)) og kapital (\(K\)). Begge faktorer kan flyttes mellem sektorer. Spørgsmålet er, om produktionsfaktorerne kan substitueres. Hvis vi ikke har faktorsubstitution, så er der tale om faste faktorproportioner (en Leontief funktion). Ellers kan vi bruge Cobb–Douglas produktionsfunktioner (ligesom i kapitel 4).

Faktorproportioner og transformationskurven

Faste faktorproportioner (ingen substitution)

Med faste faktorproportioner producerer hver sektor ved hjælp af faste mængder af arbejdskraft og kapital pr. outputenhed:

\[ \begin{aligned} Q_x &= \min\left(\frac{L_x}{a_{L_x}}, \frac{K_x}{a_{K_x}}\right) \\ Q_y &= \min\left(\frac{L_y}{a_{L_y}}, \frac{K_y}{a_{K_y}}\right) \\ \text{Hvor} \quad L &= L_x + L_y \quad \text{og} \quad K = K_x + K_y \end{aligned} \]

Her er \(a_{L_x}\) og \(a_{K_x}\) henholdsvis arbejdskraft og kapital pr. outputenhed af \(x\). Produktionen er begrænset af den faktor, der vi først løber tør for.

Substituerbare faktorer

Med Cobb–Douglas produktionsfunktioner kan firmaer vælge mellem forskellige faktorproportioner. Produktionsfunktionerne er:

\[ \begin{aligned} Q_x &= \left(\frac{L_x}{a_{L_x}}\right)^{\alpha_x} \left(\frac{K_x}{a_{K_x}}\right)^{1-\alpha_x} \\ Q_y &= \left(\frac{L_y}{a_{L_y}}\right)^{\alpha_y} \left(\frac{K_y}{a_{K_y}}\right)^{1-\alpha_y} \end{aligned} \]

Med substitution, er de unit factor requirements (\(a_{L_i}\) og \(a_{K_i}\) hvor \(i \in \{x, y\}\)) faktisk ikke konstante, da firmaer kan vælge forskellige kombinationer af arbejdskraft og kapital. Jeg vælger dog at bruge de samme \(a\)-værdier som i modellen uden faktorsubstitution til at definere \(\alpha_i\), som er arbejdskraftens andel i produktionen. Det gør jeg for at kunne sammenligne de to varianter. Helt konkret udregner jeg \(\alpha_i\) således: \[ \alpha_i = \frac{a_{L_i}}{a_{L_i} + a_{K_i}} \]

PPF-kurven bliver konkav (bøjet indad) når sektorerne har forskellige faktorintensiteter (\(\frac{K}{L}\) forhold). Jo mere de to sektorer ligner hinanden, jo mindre konkav bliver PPF. Konkaviteten betyder, at der er stigende alternativomkostninger – når vi producerer mere af \(x\), skal vi give afkald på mere og mere af \(y\).

Figur 1: Produktionsfaktorer med og uden substitution

Forskellen mellem de to HO-varianter handler om fleksibilitet: kan firmaer tilpasse faktorproportionerne?

Uden substitution (Leontief): Faste proportioner; sektoren bruger præcist \(a_{L_i}\) og \(a_{K_i}\) per outputenhed.
Med substitution (Cobb–Douglas): Fleksible proportioner; firmaer kan vælge forskellige balancer af arbejdskraft og kapital.

Optimal produktion givet prisforhold

Producenter maksimerer værdi \(V = p_x Q_x + p_y Q_y\) under bibetingelsen af, at man ikke må bruge flere ressourcer end tilgængelige (altså vi er underlagt PPF-begrænsningen). Geometrisk er dette tangenspunktet mellem PPF og en isoværdi-linje — den linje, der repræsenterer alle kombinationer af \(Q_x\) og \(Q_y\) der giver samme værdi \(V\). Hældningen af isoværdi-linjen er den relative pris \(p_x / p_y\), og hældningen af PPF-kurven repræsenterer alternativomkostningerne ved at producere mere af \(x\) i form af \(y\).

Lad os antage verden sætter en relativ pris på \(\frac{p_x}{p_y} = 0.4\).

Optimalt forbrug givet præferencer

For at tage højde for forbrugerpræferencerne, har vi brug for en funktion for forbrugernes nytte. Ligesom med produktionsfunktionerne antager vi, at forbrugerne har Cobb–Douglas præferencer, hvor \(\theta\) er andelen af indkomst brugt på \(x\) (præferenceparameter).

Med produktionen fastsat til \((Q_x^*, Q_y^*)\), har landet en samlet indkomst på \(V = p_x Q_x^* + p_y Q_y^*\). Den repræsentative forbruger løser derfor et budgetproblem:

\[ \begin{aligned} \max_{D_x, D_y} U =& D_x^\theta D_y^{1-\theta} \\ \text{u.b.}\quad & p_x D_x + p_y D_y = V \end{aligned} \]

Løsningen til dette Cobb–Douglas-problem er: \[ \begin{aligned} D_x^* &= \theta \frac{V}{p_x} \\ D_y^* &= (1-\theta) \frac{V}{p_y} \end{aligned} \]

Ved at antage en relativ pris, \(\frac{p_x}{p_y} = 0.4\), og præferenceparameteren, \(\theta = 0.45\), finder vi det optimale forbrugspunkt \((D_x^*, D_y^*)\).

Uden handel

Figurerne her viser ikke autarki! De viser det optimale produktion- og forbrugspunkt givet et antaget prisforhold (\(\frac{p_x}{p_y} = 0.4\)). I autarki må landets forbrug svare til dets produktion — altså: \[D_x = Q_x \quad D_y = Q_y\]

Det betyder, at produktionspunktet er det samme som forbrugspunktet — da der ikke er nogen mulighed for handel.

Ligevægt med international handel

I stedet for bare at antage en relativ pris, kan vi løse et globalt ligevægtsproblem — hvor verden består af to lande. De to lande har:

Samme teknologi (samme \(a_{L_x}, a_{K_x}, a_{L_y}, a_{K_y}\))
Samme præferencer (samme \(\theta\))
Forskellige faktorudrustninger (Land 1 er arbejdskraft-rigt, Land 2 er kapital-rigt)

Når den relative pris fastlægges globalt, specialiserer landene sig i forskellige produkter baseret på deres komparative fordele (bestemt af faktorudrustninger). Verdenspriser må tilpasse sig sådan, at verdens udbud er lige med verdens efterspørgsel.

I ligevægt bliver verdens relative pris på \(x\), \(\frac{p_x}{p_y} = 0.56\):

Land 1 (arbejdskraft-rigt) producerer mere af og eksporterer \(x\) (arbejdskraft-intensiv).
Land 2 (kapital-rigt) producerer mere af og eksporterer \(y\) (kapital-intensiv).

Oversigt over produktion og handel
Land	Produktion \(x\)	Forbrug \(x\)	Nettoeksport \(x\)	Produktion \(y\)	Forbrug \(y\)	Nettoeksport \(y\)
Land 1 (arbejdskraft-rigt)	29.15	18.06	11.09	6.20	12.46	-6.26
Land 2 (kapital-rigt)	5.19	15.92	-10.73	17.04	10.98	6.06
Verden (Total)	34.34	33.98	0.36	23.23	23.44	-0.20

I ligevægt bliver verdens relative pris på \(x\), \(\frac{p_x}{p_y} = 0.54\):

Land 1 (arbejdskraft-rigt) producerer mere af og eksporterer \(x\) (arbejdskraft-intensiv).
Land 2 (kapital-rigt) producerer mere af og eksporterer \(y\) (kapital-intensiv).

Oversigt over produktion og handel
Land	Produktion \(x\)	Forbrug \(x\)	Nettoeksport \(x\)	Produktion \(y\)	Forbrug \(y\)	Nettoeksport \(y\)
Land 1 (arbejdskraft-rigt)	29.29	18.21	11.08	6.06	12.07	-6.01
Land 2 (kapital-rigt)	5.39	16.47	-11.08	16.92	10.91	6.01
Verden (Total)	34.68	34.68	0.00	22.98	22.98	0.00

Hvorfor har ‘verden’ et under-/overskud på \(x\) og \(y\)?

I modellen med substitution, viser resultaterne et under-/overskud på de to varer. Det skyldes, at min kodning ikke er præcis nok til at løse optimeringsproblemet. I stedet skal resultaterne her ses som en approksimation. I en perfekt beregnet ligevægt ville det globale udbud og efterspørgsel for hver vare være nøjagtigt lige, da der ikke kan være noget under-/overskud på verdensplan (altså, mellem de to lande).

Ricardomodellen

Vi kan også gentage ovenstående analyse for Ricardo-modellen, hvor arbejdskraft er den eneste produktionsfaktor, og der ikke er nogen mulighed for substitution. I denne model er PPF-kurven lineær, og alternativomkostningerne er konstante.

Vi har igen varer \(x\) og \(y\), og en enkelt faktor: arbejdskraft (\(L\)). For at producere en enhed af vare \(x\) kræves \(a_{L_x}\) enheder af arbejdskraft, og for at producere en enhed af vare \(y\) kræves \(a_{L_y}\) enheder af arbejdskraft.

\[ \begin{aligned} Q_x &= \frac{L_x}{a_{L_x}}\\ Q_y &= \frac{L_y}{a_{L_y}} \\ \text{Hvor} \quad L &= L_x + L_y \end{aligned} \]

Ud fra ovenstående, får vi transformationskurvens ligning:

\[ Q_y = \frac{1}{a_{L_y}} \left(L - Q_x \cdot a_{L_x}\right) = \frac{L}{a_{L_y}} - \frac{a_{L_x}}{a_{L_y}} Q_x \]

Hældningen af transformationskurven (som afspejler alternativomkostningerne) er konstant: \(-\frac{a_{L_x}}{a_{L_y}}\).

Figur 2: Transformationskurven i Ricardo-modellen

Optimal produktion givet prisforhold

Producenter maksimerer værdi: \(V = p_x Q_x + p_y Q_y\) underlagt PPF-begrænsningen. Da vi har en lineær PPF, har vi tre muligheder. Hvis den relative pris på \(x\) er større end alternativomkostningerne ved at producere \(x\), vil landet specialisere sig fuldstændigt i \(x\). Hvis den relative pris på \(x\) er mindre end alternativomkostningerne, vil landet specialisere sig fuldstændigt i \(y\). Hvis den relative pris er præcis lig med alternativomkostningerne, kan landet producere en hvilken som helst kombination af de to varer.

Lad os antage verden sætter en relativ pris på \(\frac{p_x}{p_y} = 1\). Da \(\frac{a_{L_x}}{a_{L_y}} = 1.5\) (alternativomkostningerne ved at producere \(x\)), er det optimalt for landet at producere kun \(y\).

Figur 3: Optimal produktion i Ricardo-modellen givet et antaget prisforhold

Optimalt forbrug givet præferencer

Givet forbrugerpræferencerne og den indkomst, der genereres fra produktionen, kan vi finde det optimale forbrugspunkt. Vi antager fortsat, at verdens relative pris på \(x\) er 1. Desuden fastholder vi den samme (Cobb–Douglas) nyttefunktion som før, samt præferenceparameteret, \(\theta = 0.45\).

Figur 4: Optimalt forbrug i Ricardo-modellen givet et antaget prisforhold

Ligevægt med international handel

Vi antager igen, at verden består af to lande. I modsætning til Heckscher–Ohlin-modellen, hvor forskelle i faktorudrustning skaber komparative fordele, er det i Ricardo-modellen forskelle i teknologi (repræsenteret ved \(a_{L_x}\) og \(a_{L_y}\)) der skaber komparative fordele. For at illustrere dette, antager vi:

Forskellige teknologi (forskellige \(a_{L_x}, a_{L_y}\))
Samme præferencer (samme \(\theta\))
Samme faktorudrustninger

I dette eksempel, antager vi at Land 1 har \(a_{L_x} = 3\) og \(a_{L_y} = 2\) og Land 2 har \(a_{L_x} = 1\) og \(a_{L_y} = 5\).

Når vi tillader handel, tilpasses det globale prisforhold et niveau, hvor hvert land kan specialisere sig i den vare, det har en komparativ fordel i. I ligevægt får vi en relativ pris på \(\frac{p_x}{p_y} = 0.41\).

Land 1 har en komparativ fordel i produktionen af \(y\).
Land 2 har en komparativ fordel i produktionen af \(x\).

Figur 5: Handel i Ricardo-modellen

Tabel 1: Oversigt over produktion og handel i Ricardo-modellen

Land	Produktion \(x\)	Forbrug \(x\)	Nettoeksport \(x\)	Produktion \(y\)	Forbrug \(y\)	Nettoeksport \(y\)
Land 1	0	55	-55	50	27.5	22.5
Land 2	100	45	55	0	22.5	-22.5
Verden (Total)	100	100	0	50	50.0	0.0

Hvorfor ser resultaterne for Ricardo-modellen så anderledes ud?

I Ricardo-modellen er der kun én faktor (arbejdskraft), mens i Heckscher–Ohlin-modellen har vi to faktorer (arbejdskraft og kapital). Dette gør, at de to modeller har forskellige produktionsfunktioner. Derfor kan resultaterne fra de to modeller ikke direkte sammenlignes, selvom vi antager de samme parametre for unit factor requirements, faktorudrustning og præferencer (theta).

Næste skridt?

Her har jeg kun vist resultaterne af analysen for Heckscher–Ohlin og Ricardo-modellerne, men ikke kodningen. Hvis du er interesseret i at lave figurerne selv, kan du prøve at kode dem op i R. Det vi lavede i kapitel 4 kan være et godt udgangspunkt for at komme i gang.

Ved at bruge de samme antagelser og fremgangsmåde som beskrevet her, får du (forhåbentlig) de samme resultater. Derefter kan du eksperimentere med at ændre på parametrene (faktorudrustning, præferencer, priser) og se hvordan det påvirker resultaterne.